Question

定积分求体积，面积

Answer 1

题意：
1、有一立体，底面是由曲线
x
=
y²
和
曲线
x
=
4
-
8y²
所围成的面积；
2、该立体，在垂直于y轴的方向上的横截面，是高为
h
的长方形。
3、求该立体的体积。
4、答案写成分式形式。
解答：
由于该立体在垂直于y轴的方向上的横截面是高为h的长方形，
所以该立体的是高为
h
的棱柱体，prism，只要求得底面积，然后乘高
h
即可。
解联立方程simultaneous
equations:
x
=
y²
,
x
=
4
-
8y²
得两个交点坐标为：
a（4/9，-2/3）b（4/9，2/3）
底面积
=
∫[(4
-
8y²)
-
(y²)]
dy
(y
:
-
2/3→2/3)
=
32/9
立体体积
=
32h/9。

Answer 2

第一题
第二题的两种方法
是：
1：直接求所求部分体积
2：利用体积差求
所求部分体积
第三题：
求出阴影面积A，求出y=√(x+4)与x=-4和y=a围成的阴影的面积A1，
满足条件A=2A1就可以了。
关于体积积分、面积积分的问题：
体积积分：
绕x轴
或
绕x轴平行的线
旋转，都是对x积分；绕y轴积分
和
绕x轴积分
不一样，要对y积分，所以
x和y
要变换一下，如本题：x=y^2-4，对绕y轴积分就是对
pi*(y^2-4)^2
*
dy
积分，y的范围从0到2.
面积积分：
上面的曲线y值y1
下面曲线的y值y2，对(y1-y2)*dx
积分。