Question

寻高二数列求和例题分组法裂项相消法错位相减法各一道,例题啊.

寻高二数列求和例题 分组法裂项相消法错位相减法各一道,例题啊.

Answer 1

1.公式法：等差数列求和公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)2.错位相减法适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式
{
an
}、{
bn
}分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d
bn=a1·q^(n-1)
Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn=
a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn=
a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
Tn=上述式子/(1-q)3.倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)
Sn
=a1+
a2+
a3+.+an
Sn
=an+
a(n-1)+a(n-3).+a1
上下相加
得到2Sn
即
Sn=
（a1+an)n/24.分组法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例如：an=2^n+n-15.裂项法适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项.常用公式：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n![例]
求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂项）
则Sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝
1-1/(n+1)＝
n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.注意：余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的.2余下的项前后的正负性是相反的.6.数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值,k为自然数）时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.例：求证：1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
n(n+1)(n+2)(n+3)
=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明：当n=1时,有：1×2×3×4
+
2×3×4×5
=
2×3×4×5×(1/5
+1)
=
2×3×4×5×6/5
假设命题在n=k时成立,于是：1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
则当n=k+1时有：1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
1×2×3×4
+
2×3×4*5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5
+1)
=
[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证7.通项化归先将通项公式进行化简,再进行求和.如：求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和.此时先将an求出,再利用分组等方法求和.8.并项求和：例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
（并项）
求出奇数项和偶数项的和,再相减.等差数列的重要规律1.an=m,am=n,(m不等于n),则a(m+n)=0证明：令m>n得：am-an=(m-n)d=n-m
即：d=-1an=a1+(n-1)d=m
可得：a1=m+n-1a(m+n)=a1+(m+n-1)d=02.Sn=m,Sm=n,(m不等于n),则Sm+n=-（m+n）证明：令m>n得：Sn=[a1+a1+(n-1)d]n/2=m.1Sm=[a1+a1+(m-1)d]m/2=n.2联立1、2解得：a1=(m^2+n^2+mn-m-n)/mnd=-2(m+n)/mnS(m+n)=[a1+a1+(m+n-1)d](m+n)/2=-(m+n)设﹛an﹜是公差不为零的等差数列,Sn是前n项的和,满足﹙a2﹚2＋﹙a3﹚2＝﹙a4﹚2＋﹙a5﹚2
,S7＝7(1)
求数列的通项公式以及前n项和sn(2)试求所有的正整数m,使得[am×a(m＋1﹚]／a﹙m＋2﹚是数列Sn中的项