Question

已知椭圆C：x2a2+y2 b21（a＞b＞0）经过点M（1，32），F1，F2...

已知椭圆C：x2a2+y2 b21（a＞b＞0）经过点M（1，32），F1，F2是椭圆C的两个焦点，且|MF1|+|MF2|=4．O为椭圆C的中心． （1）求椭圆C的方程； （2）设P，Q是椭圆C上不同的两点，且O为△MPQ的重心，试求△MPQ的面积．

Answer 1

解：（1）∵F1，F2是椭圆C的两个焦点，且|MF1|+|MF2|=4，
∴由椭圆的定义知2a=4，∴a=2，…（3分）
∴椭圆C的方程为x24+y2 b2=1，
代入点M（1，32），得14+94b2=1，∴b2=3 …（5分）
故椭圆C的方程为x24+y2 3=1 …（6分）
（2）若O点为△MPQ的重心，设PQ的中点为N，则MO=2ON，∴N（-12，-34），…（8分）
显然直线PQ的斜率存在，不妨设为k，则方程为y+34=k（x+12）
代入椭圆方程，消去y得：（3+4k2）x2+k（4k-6）x+k2-3k-394=0①…（9分）
∵点N在椭圆内，△＞0恒成立，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=k(4k-6)3+4k2，∴xN=k(4k-6)2(3+4k2)=-12
∴k=-12，…（11分）
∴①式化简为x2+x-2=0，∴x=-2或x=1
不妨P（-2，0），Q（1，-32），由椭圆对称性知S△MPQ=2×12×3×32=92．…（14分）