Question

如图，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是AB上一点，BE⊥AB，且BE=AD

若BC、DE交于F，是否存在D点，使△BEF的BE=BF？如果存在，求AD长，若不存在，说明理由

Answer 1

解：
∵∠ACB=90°，AC=BC=1
∴AB＝√（AC²+BC²）＝√2, ∠A＝∠ABC＝45
∵BE⊥AB
∴∠ABE＝90
∴∠CBE＝∠ABE-∠ABC＝45
∴∠CBE＝∠A
∵AD＝BE
∴△ACD≌△BCE （SAS）
∴CD＝CE，∠ACD＝∠BCE, ∠CDA＝∠CEB
∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90
∴∠CDE＝∠CED＝45
∵BE＝BF
∴∠BEF＝∠BFE＝（180-∠CBE）/2＝67.5
∴∠CEB＝∠CED+∠BEF＝45+67.5＝112.5
∠DFB＝180-∠BFE＝180-67.5＝112.5
∴∠CDA＝112.5
∴∠CDA＝∠DFB
∵BE＝AD，BE＝BF
∴△ACD≌△BDF （ASA）
∴BD＝AC＝1
∴AD＝AB-BD＝√2-1

Answer 2

由SAS知三角形ACD与三角形BCE全等
所以角ACD=角BCE
所以角DCE=90度
所以C、D、B、E、四点共圆
所以角DEB=角BCD
若BE=BF
则角BFE=角BEF=角CFD=角BCD
所以CD=DF
又因为BF=BE=AD，角DBC=角A
所以三角形ACD与三角形BDF全等
所以BD=AC=1
AD=根2-1

追问

四点共圆没有学过，有别的方法吗？

追答

取DE的中点M连接BM、CM
易知DM=CM=ME=BM
所以角MCB=角MBC，角DEB=角MBE=45度+角MBC=45度+角BCM=角BCD
下同