Question

设a≥1，b≥0,且a^2+b^2／2=1，则a√(1+b^2)的最大值

Answer 1

方法一：
a√(1+b^2)
=√[a^2+(a^2)(b^2)]
=√[a^2+a^2(2-2a^2)] (b^2=2-2a^2)
=√[-2a^4+3a^2]
=√[-2(a^2-3/4)^2+9/8]
当-2(a^2-3/4)^2=0，即a^2=3/4，即a=√3/2时
a√(1+b^2)取最大值为√(9/8)=(3√2)/4

方法二：
由2a^2+b^2=2
则2a^2+(b^2+1)=3
根据均值定理
则2a^2+(b^2+1)≥2√[2a^2*(b^2+1)]=2√2*a√(b^2+1)(a>0,b>0)
则3≥2√2*a√(b^2+1)
则a√(b^2+1)≤3/(2√2)
即a√(1+b^2)最大值是 (3√2)/4