Question

使用洛必达法则求极限！

limx-〉0的时候
[cosx-e^(-x^2/2)]/x^4=？
我的做法是分子分母求导
[-sin+xe^(-x^2/2)]/4x^3
同除以x
[sin/x+e^(-x^2/2)]/4x^2=[-1+e^(-x^2/2)]/4x^2（0比0型）
再同时求导
-xe^(-x^2/2)/8x
约分，=-1/8
不知道这样做有问题吗？但是答案是-1/12！
而且如果不采用等价无穷小代换，一直用洛必达法则把分母化为常数，答案是0……太晕了，请求高人解答，谢谢！！！

Answer 1

你这样做当然有问题了。。。

[-sin/x+e^(-x^2/2)]/4x^2=[-1+e^(-x^2/2)]/4x^2（0比0型）

这一步不对。 虽然 -sinx/x=-1 (x->0).但是 你把这个先算出极限 再去求导，就不对了。

一直用洛必达法则把分母化为常数 结果是对的 至于你算得0那是你求导有问题

我的做法 是 分子分母各自 连续3次洛必达。

原式=lim[-sinx + xe^(-x^2/2)]/4x^3
=lim[-cosx+ e^(-x^2/2)-(x^2)e^(-x^2/2)]/12x^2
=lim[sinx- 3xe^(-x^2/2)+(x^3)e^(-x^2/2)]/24x
=lim 1/24(sinx/x -3e^(-x^2/2)+（x^2)e^(-x^2/2)）
=1/24(1-3+0)=-1/12

你连续4次洛必达的话就得到
原式=lim(cosx-3e^(-x^2/2)+（。。。。））/24
=1/24(1-3+0)=-1/12
结果也是一样的。
（。。。。）代表一些含x的项 ，因为都趋近0 就不列出了。

Answer 2

错误出在用等价无穷小代换那里。
当所求式子中有加的符号时候，最好不用等价无穷小代换，容易出错
如果一直用洛必达法则把分母化为常数，答案是-1/12没错
不过似乎麻烦了点，建议用泰勒展开式

Answer 3

 
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