Question

大一 微积分题目

图中4、5、8题
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Answer 1

4 原通项可以拆成两项，即an=1/[(n-1)!*2^(n-1)]+1/(n!*2^n)（n不为0），故原级数等于两个级数之和，凑项后易知为1/(n!*2^n）的级数（记为A）的2倍。但A 是e^x在1/2的展开式，故所求的和为2e^(1/2)。

5 注意到n!/2^(n^2)*sin(Pi/2^n)的绝对值不超过n!/2^(n^2)，对后者的级数用比值判别法知后项与前项的比等于(n+1)/2^(2n+1)，极限为0，小于1，故后一个级数收敛，因此由比较判别法知，原级数绝对收敛。

8 两边先取对数，得ylnz=zlnx，用复合函数求导法则：
两边对x求导，合并同类项得，zx（x为下标）=(z/x)/(y/z-lnx)；
两边对y求导，合并同类项得，zy（y为下标）=(lnz)/(lnx-y/z)。