Question

高中数学不等式题

a>0,b>0且1/a+1/b=根号下ab。（1）求a的三次 +b的三次的和的最小值 （2）是否存在a，b使得2a+3b=6？

Answer 1

答：
1）
a>0，b>0，1/a+1/b=√(ab)
所以：(a+b)/(ab)=√(ab)
所以：a+b=(ab)^(3/2)>=2√(ab)
所以：ab>=2
所以：a³b³>=8
所以：a³b³最小值为8

2）
2a+3b=6
(2a+3b)(1/a+1/b)=6√(ab)
2+2a/b+3b/a+3=6√(ab)
2(a/b)+3(b/a)=6√(ab)-5>=2√[2(a/b)*3(b/a)]=2√6
6√(ab)>=2√6+5
√(ab)>=(2√6+5) / 6>(2*2+5)/6=3/2
所以：ab>9/4>2
存在a、b使得2a+3b=6

Answer 2

第一小题等式两边同乘ab，a3+b3换成（a+b）（（a+b）的平方-3ab）的形式然后把（a+b）用前等式代换，然后用ab整体换元；第二小题由2a+3b=6基本不等得更号ab的上界，然后用2a+3b整体乘题干等式即5+两个分数形式=6更号ab，分数形式基本不等求出ab下界