Question

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H。

(1)图中除平行四边形ABCD外还有哪几个平行四边形?请说明理由。
(2)如果四边形ABCD是矩形，则四边形EHFG将是一个什么四边形?请说明理由。
(3)要使四边形EHFG成为一个矩形，必须添加什么条件？请说明理由。
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如图

Answer 1

(1)四 边形AECF是平行四边形.理由是一组对边AE,FC平行且相等.
四边形B FDE是平行四边形,理由是一组对边BE,FD平行且相等.
四边形EHFG是平行四边形,理由是两组对边GF,EH与EG,HF分别平行.
(2)如果四边形ABCD是矩形,则四边形EHFG将是菱形.
理由是四个小三角形AEG,BEH,CHF,DGF全等.
(3)要使四边形EHFG成为一个矩形,必须添加"AD=2CD"的条件.
理由是四个小三角形是全等的等腰直角三角形.

Answer 2

（1）：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE‖CF，AB=CD
∵E是AB中点，F是CD中点
∴AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AF‖CE
同理可得DE‖BF
∴四边形FGEH是平行四边形
（2）菱形连EF可利用一组对边平行且相等争EBCF为平行四边形，再加上角EBC为直角可得矩形，根据性质得EH=FH有一组邻边相等的平行四边形为菱形（3）AB=2CD当满足上述条件时易证AED,EBC都为等腰三角形根据内角和可得角BAD+2AED=180，EBC+2BEC=180，BAD+EBC=180，所以2AED+2BEC=180，则AED+BEC=90，角GEH=90加上平行四边形结论可得他为矩形

Answer 3

（1）：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AE‖CF，AB=CD
∵E是AB中点，F是CD中点
∴AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AF‖CE
同理可得DE‖BF
∴四边形FGEH是平行四边形
（2）：.当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，平行四边形EHFG是正方形
这时，AE=AD=DF=AB/2，∠EAD=∠FDA=90°
∴四边形ADFE是正方形
∴EG=FG=AF/2， AF⊥DE，∠EGF=90°
∴此时，平行四边形EHFG是正方形
(3)因为四边形EHFG是平行四边形（可以证明），所以只需要证明它的对角线相等就可以说明它是矩形了。
又因为，GH=1/2CD，EF=AB
所以，若EF=GH，则CD=2AB啊,对么。。。

Answer 4

(1）AECF,EBFD,EHFG前两个可以利用一组对边平行且相等证明，后面的利用两组对边分别平行证明（2）菱形连EF可利用一组对边平行且相等争EBCF为平行四边形，再加上角EBC为直角可得矩形，根据性质得EH=FH有一组邻边相等的平行四边形为菱形（3）AB=2CD当满足上述条件时易证AED,EBC都为等腰三角形根据内角和可得角BAD+2AED=180，EBC+2BEC=180，BAD+EBC=180，所以2AED+2BEC=180，则AED+BEC=90，角GEH=90加上平行四边形结论可得他为矩形