在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面ABC.AC=3,BC=AA1=4,AB=5,点D是AB的中点(1)求证:AC垂... 20
在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面ABC.AC=3,BC=AA1=4,AB=5,点D是AB的中点(1)求证:AC垂直BC1;(2)求证:AC1平行平面CD...
在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面ABC.AC=3,BC=AA1=4,AB=5,点D是AB的中点(1)求证:AC垂直BC1;(2)求证:AC1平行平面CDB1
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1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为侧棱AA1垂直底面ABC,所以这是一个直棱柱
CC1⊥平面ABC,CC1⊥AC
又因为AC=3,BC=4,AB=5,所以△ABC是直角三角形,AC⊥BC
因为CC1⊥AC,AC⊥BC,CC1交BC=C,所以AC⊥面BCC1,而BC1在面BCC1中,
所以AC⊥BC1
2.连结CB1与BC1交于点E,因为CBB1C1是平行四边形,所以点E是BC1的中点。
连结DE,在△ABC1中,因为点E是BC1的中点,点D是AB的中点,所以BE∥AC1
而DE在平面CDB1内,所以AC1平行平面CDB1
CC1⊥平面ABC,CC1⊥AC
又因为AC=3,BC=4,AB=5,所以△ABC是直角三角形,AC⊥BC
因为CC1⊥AC,AC⊥BC,CC1交BC=C,所以AC⊥面BCC1,而BC1在面BCC1中,
所以AC⊥BC1
2.连结CB1与BC1交于点E,因为CBB1C1是平行四边形,所以点E是BC1的中点。
连结DE,在△ABC1中,因为点E是BC1的中点,点D是AB的中点,所以BE∥AC1
而DE在平面CDB1内,所以AC1平行平面CDB1
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(1)AC=3、BC=4、AB=5,则AC^2+BC^2=AB^2,即AC垂直BC。
又CC1//AA1,AA1垂直平面ABC。
所以CC1垂直平面ABC。
AC在平面ABC内,所以AC垂CC1。
因为BC交CC1=C,所以AC垂平面CC1B1B。
因为BC1在平面CC1B1B内,所以AC垂直BC1。
(2)设CB1交BC1于点O,则O为BC1的中点。
连结OD,则OD是三角形ABC1的中位线,即AC1//OD。
因为OD在平面CDB1内,AC1不在平面CDB1内。
所以,AC1//平面CDB1。
又CC1//AA1,AA1垂直平面ABC。
所以CC1垂直平面ABC。
AC在平面ABC内,所以AC垂CC1。
因为BC交CC1=C,所以AC垂平面CC1B1B。
因为BC1在平面CC1B1B内,所以AC垂直BC1。
(2)设CB1交BC1于点O,则O为BC1的中点。
连结OD,则OD是三角形ABC1的中位线,即AC1//OD。
因为OD在平面CDB1内,AC1不在平面CDB1内。
所以,AC1//平面CDB1。
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1、∵侧棱AA1垂直底面ABC,
∴三棱柱是直三棱柱,CC1⊥平面ABC,
∵AC=3,BC=4,AB=5,
∴根据勾股定理逆定理,△ABC是RT△,
∴〈ACB=90°,
∴AC⊥BC,
∵CC1⊥平面ABC,
AC∈平面ABC,
∴AC⊥CC1,
∵CC1∩BC=C,
∴AC⊥平面BCC1,
∵BC1∈平面BCC1,
∴AC⊥BC1。
2、取A1B1中点E,连结AE、CE、DE,
∵B1E=A1B1/2,
AD=AB/2,
AB=A1B1,
∴B1E=AD,
∵B1E//AD,
∴四边形ADB1E是平行四边形,
∴AE//DB1,
∵E、D分别是A1B1和AB的中点,
∴DE//BB1//AA1,
且DE=AA1,
∵AA1//CC1,
∴DE//CC1,且DE=CC1,
∴四边形CC1ED是平行四边形,
∴C1E//CD,
∵C1E∩AE=E,B1D∩DC=D,
∴平面AEC1//平面DB1C,
∵AC1∈平面AEC1,
∴AC1//平面CDB1。
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