Question

在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面ABC.AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，点D是AB的中点（1）求证：AC垂...

在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面ABC.AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，点D是AB的中点（1）求证：AC垂直BC1；（2）求证：AC1平行平面CDB1

Answer 1

1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为侧棱AA1垂直底面ABC，所以这是一个直棱柱
CC1⊥平面ABC，CC1⊥AC
又因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以△ABC是直角三角形，AC⊥BC
因为CC1⊥AC，AC⊥BC，CC1交BC=C，所以AC⊥面BCC1，而BC1在面BCC1中，
所以AC⊥BC1
2.连结CB1与BC1交于点E，因为CBB1C1是平行四边形，所以点E是BC1的中点。
连结DE，在△ABC1中，因为点E是BC1的中点，点D是AB的中点，所以BE∥AC1
而DE在平面CDB1内，所以AC1平行平面CDB1

Answer 2

(1)AC=3、BC=4、AB=5，则AC^2+BC^2=AB^2，即AC垂直BC。
又CC1//AA1，AA1垂直平面ABC。
所以CC1垂直平面ABC。
AC在平面ABC内，所以AC垂CC1。
因为BC交CC1=C，所以AC垂平面CC1B1B。
因为BC1在平面CC1B1B内，所以AC垂直BC1。
(2)设CB1交BC1于点O，则O为BC1的中点。
连结OD，则OD是三角形ABC1的中位线，即AC1//OD。
因为OD在平面CDB1内，AC1不在平面CDB1内。
所以，AC1//平面CDB1。

Answer 3

1、∵侧棱AA1垂直底面ABC，

∴三棱柱是直三棱柱，CC1⊥平面ABC，

∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴根据勾股定理逆定理，△ABC是RT△，

∴〈ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∵CC1⊥平面ABC，

AC∈平面ABC，

∴AC⊥CC1，

∵CC1∩BC=C，

∴AC⊥平面BCC1，

∵BC1∈平面BCC1，

∴AC⊥BC1。

2、取A1B1中点E，连结AE、CE、DE，

∵B1E=A1B1/2，

AD=AB/2，

AB=A1B1，

∴B1E=AD，

∵B1E//AD，

∴四边形ADB1E是平行四边形，

∴AE//DB1，

∵E、D分别是A1B1和AB的中点，

∴DE//BB1//AA1，

且DE=AA1，

∵AA1//CC1，

∴DE//CC1，且DE=CC1，

∴四边形CC1ED是平行四边形，

∴C1E//CD，

∵C1E∩AE=E，B1D∩DC=D，

∴平面AEC1//平面DB1C，

∵AC1∈平面AEC1，

∴AC1//平面CDB1。