Question

判断级数(n=1→∞)∑(-1)^n*ln[(n+1)/n]是绝对收敛还是条件收敛？

谢谢各位大神们 高数初学者 求指教 求详细过程~

Answer 1

级数(n=1→∞)∑(-1)^n*ln[(n+1)/n]=级数(n=1→∞)∑(-1)^nan
|(-1)^n*an|=ln(n+1)/n=ln(1+1/n)
而lim(n→∞ ) ln(1+1/n)/(1/n)=1 （罗必塔）
而∑1/n是发散的，所以∑ln(1+1/n)是发散的
所以不是绝对收敛

而an=ln(1+1/n)>an+1=ln(1+1/(n+1))
lim(n→∞)an=lim(n→∞) ln(1+1/n)=0
所以由莱布里茨判别定理，可知该交错级数收敛

所以级数(n=1→∞)∑(-1)^n*ln[(n+1)/n]是条件收敛