Question

在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G. （1）如图1，E为线段DC上任意一点，点

在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①求证：DG=DC
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变，（本小题写出结论，并证明）．

Answer 1

1、因为DG⊥AB于G，而∠ACB＝90°所以，DG//CB（同位角相等，两直线平行）
因为AC=BC，所以三角形为等腰直角三角形，所以∠A=∠B=45度
因为D为AC中点，所以∠DGA=∠A=45度，所以在三角形DGC中，角GDC=90度，角DGA=45度，角DCG=45度，所以三角形DGC也是等腰直角三角形，所以DG=DC
2\ FH=CF
证明：
连接CG，CH,CG交FH于K,可知三角形CGD也是一个等腰直角三角形，所以GD=GC,又DE=DF所以GF=EC
因为FH垂直FC， CG垂直HG，角GKH和角FKC是一组对顶角，所以角GHC=角GCF
又由DF=DE，GD=DC 可得 DF:GD=DE:DC 所以EF//CG 所以，角GCF=角CFE
又因为角FEC=角FDE+角DFE=90+45=135度
角FGE=角FGC+角CGH=90+45=135度
所以三角形FGH全等于三角形CEF
所以 FH=CF
（2）结论不变，还是三角形FGH全等于三角形CEF
证法同2.

Answer 2

证明：延长DF交AB于点G
∠CDG=∠ACB=90
DG‖BC
DG为中位线
DG=1/2BC=1/2AC(AB=AC)
DC=1/2AC
DG=DC
DF=DE
DG-DF=DC-DE
FG=EC(1)
∠CDG=90,DE=DF
∠DEF=∠DFE=45
∠CEF=180-∠DEF=135
同理∠DGH=135
所以∠DGH=∠CEF(2)
∠1+∠CFD=90
∠2+∠CFD=90
所以∠1=∠2(3)
由（1）（2）（3）
△CEF≌△FGH
CF=FH
注：∠1=∠DCF,∠2=GFH
(2)结论不变，CF=FH
简单证明一下
设AH交DF于点K
由（1）我们很容易知道∠E=∠HKF=45度(1)
DE=DF
DC=AD=DK
所以CE=KF(2)
DF平行BC
∠DFC=∠BCF
∠CFH=∠BCE=90
∠DFC+∠CFH=∠BCE+∠BCF
∠ECF=∠KFH(3)
由（1）（2）（3）
△CEF≌△FGH(ASA）
CF=FH

Answer 3

因为DG⊥AB于G，而∠ACB＝90°所以，DG//CB（同位角相等，两直线平行）
因为AC=BC，所以三角形为等腰直角三角形，所以∠A=∠B=45度
因为D为AC中点，所以∠DGA=∠A=45度，所以在三角形DGC中，角GDC=90度，角DGA=45度，角DCG=45度，所以三角形DGC也是等腰直角三角形，所以DG=DC
2\ FH=CF
证明：
连接CG，CH,CG交FH于K,可知三角形CGD也是一个等腰直角三角形，所以GD=GC,又DE=DF所以GF=EC
因为FH垂直FC， CG垂直HG，角GKH和角FKC是一组对顶角，所以角GHC=角GCF
又由DF=DE，GD=DC 可得 DF:GD=DE:DC 所以EF//CG 所以，角GCF=角CFE
又因为角FEC=角FDE+角DFE=90+45=135度
角FGE=角FGC+角CGH=90+45=135度
所以三角形FGH全等于三角形CEF
所以 FH=CF
（2）结论不变，还是三角形FGH全等于三角形CEF