Question

关于椭圆的离心率数学题目

椭圆 X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，求椭圆的离心率。

Answer 1

记三角形上面的顶点为E，EF1交椭圆于点D，连结DF2。
等边三角形的边长为：|F1F2| = 2C （c为焦距）
由于椭圆恰好平分正三角形的另两条边，即D是EF1的中点，因此：
|DF1| = 三角形边长的一半 = c
|DF2| = |F1F2|*sin60 = (√3)*c
由椭圆性质“椭圆上任一点到2焦点的距离之和=2a”，而D刚好在椭圆上，因此：
|DF1| + |DF2| = c + (√3)*c = 2a
即：
离心率e = c/a = 2/(1+√3) = √3-1
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