Question

三角函数多解问题

在△ABC中，AC/AB=√2/3,且tanB=1/2，则tanA为？

Answer 1

解：过点C作边AB的垂线，垂足为D。
设AC = 根号2
那么AB = 3,
再设BD = x，则根据tanB = 1/2，得到CD = x/2,
在三角形ADC内，由于它是直角三角形，使用勾股定理，得到AD = sqrt (2 - x^2/4)，由于
AD + BD = AB = 3，所以我们得到一元方程：
sqrt (2-x^2/4) + x = 3
sqrt (2-x^2/4) = 3-x，再两边平方，整理，得到：
5x^2 - 24x + 28 = 0，
得 (5x - 14)(x - 2)= 0
得x1 = 2, x2 = 14/5，
验证： 对x2 = 14/5，原方程的根式下2-x^2/4 = 0.04 >0 ;
对x1 = 2,原方程根式下 = 1，都是原方程的解。
因此，答案是tan A = x/2 / (3-x)= 1 (此时x = 2)，或者tan A = 7 (此时x = 14/5)。

Answer 2

过B作BD⊥AC垂足为D,则tanA＝BD/AD＝1/3 ∴AD＝3BD
∵AB²＝BD²＋AD² ∴10BD²＝10 ∴BD＝1 ∴AD＝3
∵BD²＋CD²＝BC² ∴CD²＝1 ∴CD＝1 ∴AC＝AD＋CD＝4

追问

问的是tanA