Question

设数列{nan}收敛,且级数∑an收敛，证明级数∑n(an-an-1)也收敛

Answer 1

按定义将∑n(an-an-1)展开，找到三个级数之间部分和的关系

先从1到N求和： ∑n(an-an-1)=NaN-∑an-1 这里求和都是从1开始到N，再令N趋于无穷，前面的收敛，后面部分也收敛 所以整体收敛。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

先从1到N求和： ∑n(an-an-1)=NaN-∑an-1 这里求和都是从1开始到N
再令N趋于无穷，前面的收敛，后面部分也收敛 所以整体收敛

Answer 3

按定义将∑n(an-an-1)展开，找到三个级数之间部分和的关系