Question

本小题满分12分）已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2

Answer 1

1.
∵S(n+1)=4an+2
∴当n≥2时，Sn=4a(n-1)+2
∴S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1),
即：a(n+1)=4an-4a(n-1).............(1)
∴a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)],
即：bn=2b(n-1).
∴{bn}是等比数列.
等比数列{bn}的公比是2.
首项b1＝a2-2a1,
又S2＝4a1+2，a1+a2=4a1+2,
∴a2=3a1+2=5,
∴b1=3.
∴数列{bn}的通项公式是：bn=3*2^(n-1).
2.
由a1=1.S(n+1)=4an+2得,S2=4a1+2=6=a1+a2,所以a2=5
由(1)得数列{a(n+1)-2an}为公比为2,首项为a2-2a1=3的等比数列,
所以a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
两边都除以2^(n+1),得
a(n+1)/[2^(n+1)]-an/2^n=3/4
因此数列an/2^n为等差数列.(公差为3/4)
3.
由(2)得数列an/2^n是公差为3/4,首项为a1/2=1/2的等差数列
所以an/2^n=1/2+(n-1)*3/4=(3n-1)/4
所以an=(3n-1)*2^(n-2)
S(n+1)=4an+2=(3n-1)*2^n+2
∴Sn=(3n-4)*2^(n-1)+2....(n≥2)
又S1=1也满足Sn=(3n-4)*2^(n-1)+2
所以
an=(3n-1)*2^(n-2)
Sn=(3n-4)*2^(n-1)+2