Question

高一数学：已知x>0,y>0,x≠y，且x+y=x2+y2+xy，求证：1<x+y<4/3

Answer 1

x^2-y^2=x^3-y^3
即(x+y)(x-y)=(x-y)(x^2+xy+y^2)
因为x≠y,x>0,y>0,xy>0
所以x+y=x^2+xy+y^2<x^2+xy+y^2+xy=x^2+2xy=y^2=(x+y)^2
即x+y<(x+y)^2,所以1<x+y
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy>2xy+2xy=4xy
所以xy<(x+y)^2/4
所以x+y=x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy>(x+y)^2-(x+y)^2/4=3(x+y)^2/4
所以x+y<4/3
所以1<x+y<4/3

Answer 2

(x+y)^2-（x+y）=xy
令x+y=a,xy=b
a2-a=b
假设x、y是
x2-ax+b=0
的二根
化简
x2-ax+a2-a=0
xy=a2-a>0
a>1
德尔塔=a2-4(a2-a)>0
3a2-4a<0
a<4/3

Answer 3

设x+y=t
显然t>0 , xy>0
(1) t=t²-xy<t² 所以1<t
(2)-t +t²=xy<[(x+y)/2]²=t²/4
所以3/4t²<t
即t<4/3
综上 1<x+y<4/3