Question

f（x）=1/2x²-ax+（a-1）lnx，a＞1,x>0

f（x）=1/2x²-ax+（a-1）lnx，a＞1,x>0
求导
f'(x)=x-a+(a-1)/x=[x-(a-1)](x-1)/x
I）当1<a<2,x∈(0,a-1)，f'(x)>0,f(x)单调递增
x∈(a-1,1)，f'(x)<0,f(x)单调递减
x∈(1,+∞)，f'(x)>0,f(x)单调递增

f(x) 递增， 那么f ' (x)肯定是大于0了，但是为什么 可以得出 1<a<2呢 ？ 又为什么是 x

属于（a-1,1）时它递减呢？？？？

a值在这里弄得我头都大了，最怕这种含有未知数的二次函数了
原题
f(x)=1/2x^2-ax+(a-1)lnx，a〉1

求f(x)单调性。

Answer 1

你的题目说的不太清楚，是已知x∈(0,a-1)时，f(x)单调递增？
f'(x)=[x-(a-1)](x-1)/x
因为x>0，所以抛开1/x，分析[x-(a-1)](x-1)
这是个开口向上的抛物线，两根为a-1和1
在两根之间，f'(x)<0，两根之外f'(x)>0
在这里需要判断两个根：a-1和1的大小
如果告诉你x∈(0,a-1)时，f(x)单调递增，那么可以判断出a-1为小根
即a-1<1，可得a<2

追问

f(x)=1/2x^2-ax+(a-1)lnx，a〉1

求f(x)单调性

追答

哦
那主要是先判断两个根：a-1和1的大小
1、当a-1为较小根时，即a-10,f(x)单调递增（小根之外）
x∈(a-1，1)时，f'(x)0,f(x)单调递增（大根之外）

2、当a-1为较大根时，即a-1>1，a>2：
x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增（小根之外）
x∈(1，a-1)时，f'(x)0,f(x)单调递增（大根之外）

追问

你说的太清晰了！！大致明白了，但是函数不是有三种情况图么，一种是与X轴相交两点，一种是只有一个相交点，最后一种是与X轴没有相交点，为什么你可以直接判断它与X轴相交两点呢

追答

你已经得出了f'(x)=[x-(a-1)](x-1)/x的形式了，两个因式，必然两个根

你说的有三种情况，是在没有分解因式时讨论的，有根就能分解因式，没根（没交点）就无法分解
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对了，还要讨论一种情况
3、a＝2时，a-1=1，两根相等，f'(x)恒大于等于0
那么x∈(0,+∞)时，递增

Answer 2

没有明白你的问题什么意思，能说以下原题吗，都看不出哪个是已知条件哪个是所求结果了

追问

f(x)=1/2x^2-ax+(a-1)lnx，a〉1

求f(x)单调性