设函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,是否存在这样的实数a,使得不等式f(1-ax-x 2 )<f(2-a

设函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,是否存在这样的实数a,使得不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立?若存在,试求出实数a的取值... 设函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,是否存在这样的实数a,使得不等式f(1-ax-x 2 )<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立?若存在,试求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由. 展开
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小鱼595
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解法一:由条件得1-ax-x 2 <2-a对于x∈[0,1]恒成立
令g(x)=x 2 +ax-a+1,只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可.
g(x)=x 2 +ax-a+1=(x+
a
2
2 -
a 2
4
-a+1.
①当-
a
2
<0,即a>0时,g(x) min =g(0)=1-a>0,∴a<1,故0<a<1;
②当0≤-
a
2
≤1,即-2≤a≤0时,g(x) min =g(-
a
2
)=-
a 2
4
-a+1>0,∴-2-2
2
<a<-2+2
2
,故-2≤a≤0;
③当-
a
2
>1,即a<-2时,g(x) min =g(1)=2>0,满足,故a<-2.
故存在实数a,使得不等式f(1-ax-x 2 )<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立,其取值范围是(-∞,1).
解法二:由1-ax-x 2 <2-a得(1-x)a<x 2 +1,
∵x∈[0,1],∴1-x≥0,
∴①当x=1时,0<2恒成立,此时a∈R;
②当x∈[0,1)时,a<
x 2 +1
1-x
恒成立.
求当x∈[0,1)时,函数y=
x 2 +1
1-x
的最小值.
令t=1-x(t∈(0,1]),则y=
x 2 +1
1-x
=
(1-t ) 2 +1
t
=t+
2
t
-2,
而函数y=t+
2
t
-2是(0,1]上的减函数,所以当且仅当t=1,即x=0时,y min =1.
故要使不等式在[0,1)上恒成立,只需a<1,
由①②得a<1.
故存在实数a,使得不等式f(1-ax-x 2 )<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立,其取值范围是(-∞,1).
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