Question

如图，直线l的解析式为y=- 4 3 x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从

如图，直线l的解析式为y=- 4 3 x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤3）（1）求A、B两点的坐标；（2）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S，试探究S与t之间的函数关系；（3）当S=2时，是否存在点R，使△RNM ∽ △AOB？若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当y=0时，0=- 4 3 x+4 解得x=3， 即A（3，0）， 当x=0时，y=4 即B（0，4）； （2）Ⅰ当点P在直线AB左边时， ∵矩形OMPN， ∴NP=OM=t ∵m ∥ l ∴△OMN ∽ △OAB ∴ OM OA = ON OB ， ∴ t 3 = ON 4 ， ∴PM=ON= 4 3 t， ∴s 1 = 1 2 PN?PM= 1 2 ?t? 4 3 t= 2 3 t 2 （0＜t≤ 3 2 ）， Ⅱ当点P在直线AB右边时， ∵OM=t， ∴AM=3-t， ∴ME= 4 3 （3-t）， PE= 4 3 t- 4 3 （3-t）= 8 3 t-4， PF= 3 4 -（ 8 3 t-4）=2t-3， ∴s 2 = 1 2 PN?PM- 1 2 PE?PF， = 1 2 t? 4 3 t- 1 2 （ 8 3 t-4）（2t-3）=-2t 2 +8t-6（ 3 2 ＜t≤3）， 综上所述：s 1 = 2 3 t 2 （0＜t≤ 3 2 ），或s 2 =-2t 2 +8t-6（ 3 2 ＜t≤3）； （3）当s 1 = 2 3 t 2 =2时，t= 3 ＞ 3 2 ，舍去， 当s 2 =-2t 2 +8t-6=2时，t 1 =t 2 =2， 此时M（2，0），N（0， 8 3 ）， ∴存在R 1 和R 2 使△RNM ∽ △AOB， ∴∠RNM=∠AOB=90°，∠R 1 MN=∠ABO=∠MNO， ∴R 1 M ∥ y轴， ∴R 1 H 1 =OM=2， ∴NH 1 =2× 3 4 = 3 2 ， ∴OH 1 = 8 3 + 3 2 = 25 6 ， ∴R 1 （2， 25 6 ）， ∴R 2 H 2 =R 1 H 1 =2，NH 2 =NH 1 = 3 2 ， ∴OH 2 = 8 3 - 3 2 = 7 6 ， ∴R 2 （-2， 7 6 ）， 综上所述：R 1 （2， 25 6 ）或R 2 （-2， 7 6 ）．