Question

在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E。（1）

在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E。（1）求证△ABD为等腰三角形；（2）求证AC·AF=DF·FE

Answer 1

解：（1）由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA， 而∠MCD=∠DCA， 所以∠DBA=∠DAB， 故△ABD为等腰三角形； （2）∵∠DBA=∠DAB， ∴弧AD=弧BD， 又∵BC=AF， ∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA， ∴弧CD=弧DF， ∴CD=DF， 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①， ∠FAE=∠BDE， ∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE， ∴AC：FE=CD：AF， ∴AC·AF=CD·FE， 而CD=DF， ∴AC·AF=DF·FE。