Question

计算二重积分I=∫∫Dr2sinθ1?r2cos2θdrdθ，其中D={（r，θ）|0≤r≤secθ，0≤θ≤π4}

计算二重积分I=∫∫Dr2sinθ1?r2cos2θdrdθ，其中D={（r，θ）|0≤r≤secθ，0≤θ≤π4}．

Answer 1

做变量代换 x=rcosθ，y=rsinθ，则
D 转换为 D_xy={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x}，
I=

∫∫

D

r2sinθ

1?r2cos2θ

drdθ
=

?

Dxy

y

1?x2+y2

 dxdy
=

∫

1 0

dx 

∫

x 0

1?x2+y2

d(1?x2+y2)
=

∫

1 0

 

1

3

(1?x2+y2)

3

2

|

x 0

dx
=

1

3

∫

1 0

( 1? (1?x2)

3

2

)dx
=

1

3

-

1

3

∫

1 0

(1?x2)

3

2

dx．
令 x=sint，则

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