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解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是菱形．
（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．^_^
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是菱形．
（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．^_^
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