Question

几道与积分有关大学物理题

小弟在大学物理学习中遇到这几个需要用积分知识求解的题目,不是很懂,希望各位可以指教,希望附上详细的过程,每题的答案我已经写在每题的后面. 非常感谢!!! 1.一个以半径为R的圆做减速运动的物体,在任一个时刻它的切向加速度的数值等于它的向心加速度,t=0时刻物体的速度等于V0,求出: a)物体的速度和时间的关系,速度与路程的关系? 答案:a=v0/(1+v0t/R)=v0e的负s除以R次 b)物体完全加速度(就是切向加速度和向心加速度的合加速度)与速度的关系,完全加速度与路程的关系? 答案:a=根号2乘以v的平方再除以R 2.物体绕着半径为R的圆弧运动,它的速度与路程S的关系是v=a乘以根号s,a为不变的常数,求出完全加速度向量与速度向量的夹角与路程S的关系? 答案:这个角度的正切值等于2s/R 3.以速度v匀速运动的物体,求出在x=0时刻的速度和在这点的轨迹的弧度,如果椭圆的轨迹式是(x/a)的平方+(y/b)的平方=1? 答案:a=bv的平方(只是v的系数指数为2)/a的平方,R=a的平方/b 4.物体做减速圆周运动,它的角加速度b与根号w(角速度)正相关,求解一断时间内的平均角速度,如果开始时刻的角速度为w0? 答案: <w>=w0/3 5.物体做圆周运动,按照这个规则:m(这个m表示一个角度)=at-bt的三次方(这个三次是t的指数,与b没关系的,是b乘以t的三次方),a=6弧度每秒,b=2弧度每秒的三次方,求解: a)平均角速度和平均角加速度在(从t=0到停止转到的这个时间断内) 答案: <w>=2a/3=4弧度每秒, 角加速度等于根号3ab=5弧度每二次方秒 b)停止转动时的角加速度 答案:此时角加速度=2乘以根号3ab=12弧度每二次方秒

Answer 1

多给点分吧，内容比较多
1.任意时刻的向心加速度都等于v²/R，则切向加速度也是v²/R，向心加速度与速度垂直，故只改变速度方向，不改变速率大小。而切向加速度负责改变速率大小，初速度(速率)是v0，则v'
=
-
v²/R，解这个微分方程得到1/v
=
t/R
+
C，把初始条件t=0，v=v0代入，得到C
=
1/v0
故v
=
Rv0/(v0t+R)，这就是速度与时间的关系(其实是速率)
路程等于s
=
∫vdt
=
Rln(t
+
R/v0)
=
Rln(R/v)，或写成v
=
R
e^(-s/R)，这是路程与速度的关系。
两个加速度是垂直的，所以完全加速度是两者的平方和再开方，就是√2v²/R
2.v
=
ds/dt，而v
=
a√s，则得到一个关于s的微分方程。解之得s
=
(at+C)²/4，C是任意常数，因t=0时s=0，则C=0。由s
=
a²t²/4得v
=
a²t/2，a(切向加速度)=a²/2，而向心加速度等于v²/R
=
a^4
t²/4R，又因切向加速度与速度同向，则所求角的正切等于向心加速度除以切向加速度，等于2s/R
3.是曲率吧?曲率半径的定义是ds/dθ
=
R。在匀速曲线运动中，速度只是改变方向，则v与v+dv大小相等，但是夹角是dθ，即v，v+dv，dv组成了一个三角形，且dv的对角是dθ，则dv
=
2vsin(dθ/2)
≈
vdθ
=
vds/R，ds又等于vdt。故dv
=
v²dt/R，加速度a
=
dv/dt
=
v²/R。由椭圆方程求曲率半径得到ab/√(a²cos²θ+b²sin²θ)³，x=0时cosθ=1，sinθ=0，则曲率1/R
=
b/a²，加速度a
=
bv²/a²
4.因物体做减速运动，所以b
=
-k√ω，而b
=
dω/dt，把t=0时ω
=
ω0代入，解出ω
=
(kt/2
-√ω0)²，t
=
2√ω0/k时物体停止，则平均角速度=1/t
∫ωdt
=
2ω0(√ω0)/3k
*
k/(2√ω0)
=
ω0/3
5.角速度等于dm/dt
=
a-3bt²
=
6-6t²，角加速度是角速度对时间求导等于-12t。停止转动时t
=
1，角度从0变到(6*1-2*1³)=4，则平均角速度等于m/t
=
4/1
=
4，角速度从6变到0，则平均角加速度等于6/1
=
6，停止转动的角加速度等于-12*1
=
-12，它的大小是12，方向是减速方向