Question

（2014?道外区一模）在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证

（2014?道外区一模）在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O切线； （2）若AE=1，BD=25，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD；
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴△DAE∽△BAD，
∴

AE

AD

＝

AD

AB

∴AD²=AB?AE
∵AE=1，
∴AD²=AB，
在Rt△ABD中，
AB²=AD²+BD²，
∵BD=2

5

，
∴AB²=AB+（2

5

）²，
解得：AB=5或-4（舍去）
∴AB的长为5．