Question

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y

已知函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数f（x）在区间 (k，k+ 2 3 ) 上是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（I）函数f（x）=x 3 +ax 2 +bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4． 所以f′（x）=3x 2 +2ax+b，所以f′（1）=3+2a+b=1…①，函数经过（1，f（1）），即：5=1+a+b+1…②； 解①②得：a=-5，b=8； 所以函数的解析式为：f（x）=x 3 -5x 2 +8x+1． （Ⅱ）由（1）可知f′（x）=3x 2 -10x+8，令3x 2 -10x+8=0，即x=2，x= 4 3 ，当x ＜ 4 3 时函数是增函数， 4 3 ≤x≤2 时函数是减函数，x＞2时，函数是增函数，函数f（x）在区间 (k，k+ 2 3 ) 上是单调函数， 所以k ≤ 2 3 或k= 4 3 或k≥2时，满足题意．