Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC． 求证：（1）

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC． 求证：（1）BC平分∠PBD；（2）BC 2 =AB?BD．

Answer 1

证明：（1）连接OC．（1分） ∵PD切⊙O于点C， 又∵BD⊥PD， ∴OC ∥ BD． ∴∠1=∠3．（2分） 又∵OC=OB， ∴∠2=∠3．（3分） ∴∠1=∠2，即BC平分∠PBD．（4分） （2）连接AC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°．（5分） 又∵BD⊥PD， ∴∠ACB=∠CDB=90°（6分） 又∵∠1=∠2， ∴△ABC ∽ △CBD；（7分） ∴ AB CB = BC BD ，∴BC 2 =AB?BD．（8分）