Question

如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并

如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；（2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：BH=BC；（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图3，求cos∠DEM．

Answer 1

证明：（1）CN=DM，CN⊥DM，
∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴AM=DN
在△AMD和△DNC中，

AM＝DN ∠A＝∠CDN AD＝DC

，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM．∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；                

（2）如图，

延长DM、CB交于点P．
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
在△AMD和△BMP中

∠MPC＝∠MDA ∠A＝∠MBP MA＝MB

∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC．
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
（3）如图，

∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED．
设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，
∴DE=ME=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，
∴（4k）²+A′E²=（EA′+2k）²，
解得A′E=3k，
∴在直角△A′DE中，cos∠DEM=

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