Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2．（Ⅰ）求证：OE∥平面ACD

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2．（Ⅰ）求证：OE∥平面ACD（Ⅱ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅲ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

解：（I）证明：连结OE，∵O、E分别是BD、BC的中点，
∴OE∥CD，又OE?平面ACD，CD?平面ACD，
∴OE∥平面ACD；
（II）证明：连结OC∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝

3

．
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，∴AO⊥OC．
又∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD；
（III）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，
由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME中，EM＝

1

2

AB＝

2

2

，OE＝

1

2

DC＝1，
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴OM＝

1

2

AC＝1，
∴OM=OE取EM的中点N，则ON⊥EM，
∴cos∠OEM＝

EN

OE

＝

2

4

，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为

2

4

．