Question

利用定义判断函数f（x）=x2-1在区间（-∞，0）上的单调性，并证明

利用定义判断函数f（x）=x2-1在区间（-∞，0）上的单调性，并证明．

Answer 1

函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。
∵函数f（x）=x2-1在区间（-∞，0），
可以设x1＜x2＜0，
可得f（x1）-f（x2）=x12-1-（x22-1）=x12-x22=（x1+x2）（x1-x2），
∵x1＜x2＜0，∴x1+x2＜0，x1-x2＜0，
∴（x1+x2）（x1-x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（-∞，0）上为减函数；

Answer 2

∵函数f（x）=x²-1在区间（-∞，0），
可以设x₁＜x₂＜0，
可得f（x₁）-f（x₂）=x₁²-1-（x₂²-1）=x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁＜x₂＜0，∴x₁+x₂＜0，x₁-x₂＜0，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（-∞，0）上为减函数；