Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BG⊥平面PAD．
（2）证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，
G为AD边的中点，
得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，
PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，
所以AD⊥平面PGB，因为PB?平面PGB．
所以AD⊥PB．
（3）解：当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：
取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，
EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因为PG⊥AD，AD∩BG=G，
∴PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．