Question

在△ABC中，cosC+（cosA-3sinA）cosB=0．（1）求∠B；（2）a+c=1，求b的取值范围

在△ABC中，cosC+（cosA-3sinA）cosB=0．（1）求∠B；（2）a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

（1）∵cosC+（cosA-

3

sinA）cosB=-cos（A+B）+cosAcosB-

3

sinAcosB=0，
整理得：sinAsinB-cosAcosB+cosAcosB-

3

sinAcosB=0，即sinA（sinB-

3

cosB）=0，
∵∠A为三角形内角，∴sinB-

3

cosB=0，即tanB=

3

，
∴∠B=

π

3

．
（2）∵a+c=1≥2

ac

，∴ac≤

1

4

．
再由cosB=

1

2

，利用余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=1-3ac≥1-

3

4

=

1

4

，
∴b≥

1

2

．
再根据三角形任意两边之和大于第三边，可得a+c=1＞b，
故有

1

2

≤b＜1，即b的范围为[

1

2

，1）．