Question

已知椭圆方程为 （a＞b＞0），它的一个顶点为M（0，1），离心率e= ，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线

已知椭圆方程为 （a＞b＞0），它的一个顶点为M（0，1），离心率e= ，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积的最大值。

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Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，得 ， 解得 ， ∴椭圆方程为 ； （Ⅱ）①当AB⊥x轴时， ； ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m， 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 由已知 ，得 ， 把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k 2 +1）x 2 +6kmx+3m 2 -3=0， ∴ ； 当k≠0时， |AB| 2 =（1+k 2 ）（x 2 -x 1 ） 2 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，此时|AB|=2； 当k=0时， ； 综上所述|AB| max =2， 此时△AOB面积取最大值 。