Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：OM?OP为定值．

Answer 1

（1）∵左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形，
∴a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

＝1．（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y₀），P（x₁，y₁），
则

OP

＝(x1，y1)，

OM

＝(2，y0)．
直线CM：y-0=

y0

4

（x+2），即 y＝

y0

4

x+

1

2

y0．（6分）
代入椭圆x²+2y²=4，得(1+

y 2 0

8

)x2+

1

2

y

2 0

x+

1

2

y

2 0

?4＝0，故次方程的两个根分别为-2和x₁，（8分）
由韦达定理可得x₁-2=

?4y02

y02+8

，∴x1＝ 

?2y02+16

y 2 0 +8

，∴y1＝

8y0

y 2 0 +8

．
∴

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