Question

已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若n∈N*，证明：(1n)n+(2n

已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若n∈N*，证明：(1n)n+(2n)n+…+(n?1n)n+(nn)n＜ee?1．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-x，∴f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．∴函数f（x）=e^x-x在区间（-∞，0）上单调递减，
在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．令x＝?

k

n

（n∈N^*，k=1，2，，n-1），
则 0＜1?

k

n

≤e?

k

n

，∴(1?

k

n

)n≤(e? 

k

n

)n＝e?k(k＝1，2，，n?1)．
即(

n?k

n

)n≤e?k(k＝1，2，，n?1)．∵(

n

n

)n＝1，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n?1

n

)n+(

n

n

)n≤e?(n?1)+e?(n?2)+… ．+e?2+e?1+1．
∵e?(n?1)+e?(n?2)+…+e?2+e?1+1＝

1?e?n

1?e?1

＜

1

1?e?1

＝

e

e?1

，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n?1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e?1

．