已知函数f(x)=ex+ax-1(a∈R,且a为常数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,若方程f(x

已知函数f(x)=ex+ax-1(a∈R,且a为常数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,若方程f(x)=0只有一解,求a的值;(3)若对所有x≥0都有f... 已知函数f(x)=ex+ax-1(a∈R,且a为常数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,若方程f(x)=0只有一解,求a的值;(3)若对所有x≥0都有f(x)≥f(-x),求a的取值范围. 展开
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鼓拔峡谡B8
2014-11-07 · 超过62用户采纳过TA的回答
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(1)∵f(x)=ex+ax-1
∴f′(x)=ex+a
当a≥0时,f′(x)>0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a<0时,令f′(x)=ex+a=0,则x=ln(-a)
当x∈(-∞,ln(-a))时,f′(x)<0,当x∈(ln(-a),+∞)时,f′(x)>0,
此时f(x)的单调递减区间为(-∞,ln(-a));单调递增区间为(ln(-a),+∞);
(2)当a<0时,若方程f(x)=0只有一解,
即函数f(x)=ex+ax-1有且只有一个零点
由(1)得f[ln(-a)]=ex+ax-1=0,又∵f(0)=e0+0-1=0,
故ln(-a)=0,解得a=-1
(3)若对所有x≥0都有f(x)≥f(-x),即ex+ax-1≥e-x-ax-1
ex-e-x+2ax≥0在(0,+∞)上恒成立;
令g(x)=ex-e-x+2ax,
∵g(0)=0
∴g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立
即g'(x)=ex-e-x+2a≥0在(0,+∞)上恒成立
∵ex-e-x+2a≥2+2a
∴a≥-1
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