Question

设函数fx在点x0的某邻域内有定义,且f'(x0)=0,f''(x0)>0,则一定存在a>0，使得（）

A，曲线fx在区间（x0-a,x0+a)内是下凸的
B，函数fx在区间（x0-a,x0)上减少，在（x0,x0+a)上单调增加
为什么是B呢

Answer 1

f''(x)是f'(x)的导数
f''(x0)>0，说明f'(x)在x0附近是增函数
而f'(x0)=0，
根据增函数，若有x1<x0,x2>x0
有f'(x1)<f'(x0)=0>f'(x2)
a>0,令x0-a=x1,x0+a=x2,即f'(x0-a)<0,f'(x0+a)>0
因此函数f（x）在区间（x0-a,x0)上减少，在（x0,x0+a)上单调增加

追问

A不行吗？ 左边减少右边增加的话？

追答

A不行，下凹肯定有个先増后减或先减后増的过程，某个点导数为0，,
但f'(x0-a)<0，f'(x0)=0，单调性唯一，不存在单调性先后变化问题

A不对

追问

”但f'(x0-a)<0，f'(x0)=0，单调性唯一，不存在单调性先后变化问题“

单调性在（x0,x0+a)上不是变了吗？
”函数fx在区间（x0-a,x0)上减少，在（x0,x0+a)上单调增加“ 这个是正确的，那为什么不是凸函数，这俩不是一个概念吗?

追答

噢！我看错了区间。选项中是（x0-a,x0+a），我看成（x0-a,x0）才会那样解释。

A项解释如下：

先分清凹凸函数：
凹函数：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1+x2)/2]=[f(x1)+f(x2)]/2 则称f(x)在[a，b]上是凸的。
函数图形：弧段像∩形的，比如y=-x^2的函数.

以后看“凹凸”字形中间部分，想象成弧段就对了。

据此，下凸是先增后减的，而原函数f（x）在区间（x0-a,x0)上减少，在（x0,x0+a)上单调增加，先减后增，不是凸函数而是凹函数。A不对

追问

我们学的下凸是∪型的

追答

不是吧，那肯定不对！
因为这样题目就没答案了，不可能。建议与老师讨论下

Answer 2

f'(x0)=0,f''(x0)>0，可以判定x0是极小值点，所以在其一个邻域内必然存在B所述的情况发生

追问

A不行吗，左边减少右边增加的话？

追答

我也觉得A对 实话 但是B一定对 这是可以肯定的