Question

如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D． （1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD； （2）

如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D． （1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD； （2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°， ∴∠ABC=60°． 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30°， ∴∠BAC=∠ABD， ∴BD=AD． （2）解法一：∵∠C=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∴ （∠BAC+∠ABC）=45°． ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC， ∠BAP= ∠BAC，∠ABP= ∠ABC，即∠BAP+∠ABP=45° ∴∠APB=180°﹣45°=135°． 解法二：∵∠C=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∴ （∠BAC+∠ABC）=45°． ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC， ∠DBC= ∠ABC，∠PAC= ∠BAC， ∴∠DBC+∠PAD=45°． ∴∠BPA=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD =∠DBC+∠PAD+∠C =45°+90° =135°．