Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知 C= π 3 ．（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知 C= π 3 ．（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圆的面积；（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵a=2，b=3，C= π 3 ， ∴由余弦定理得：c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC =4+9-2×2×3× 1 2 =7， ∴c= 7 ，设其外接圆半径为R，则2R= c sinC ，故R= 21 3 ， ∴△ABC的外接圆的面积S=πR 2 = 7π 3 ； （Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA， ∴sinBcosA=2sinAcosA 当cosA=0时，∠A= π 2 ，∠B= π 6 ，a= 4 3 3 ，b= 2 3 3 ，可得S= 2 3 3 ； 当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a…①， ∵c=2，∠C=60°，c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC ∴a 2 +b 2 -ab=4…②， 联立①①解得a= 2 3 3 ，b= 4 3 3 ， ∴△ABC的面积S= 1 2 absinC= 1 2 absin60°= 2 3 3 ． 综上可知△ABC的面积为 2 3 3 ．