已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx．（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范
已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx．（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点...
已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx．（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈(0，12)，证明：h(x1)?h(x2)＞34?ln2；（3）设r(x)＝f(x)+g(1+ax2)对于任意的a∈（1，2），总存在x0∈[12，1]，使不等式r（x）＞k（1-a2）成立，求实数k的取值范围．
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（1）由题意：f（x）≥g（x）?x2-ax≥lnx，（x＞0）
分离参数α可得：a≤x?
，（x＞0）…（1分）
设Φ(x)＝x?
，则Φ′(x)＝1+
=
…（2分）
由于函数y=x2，y=lnx在区间（0，+∞）上都是增函数，所以
函数y=x2+lnx-1在区间（0，+∞）上也是增函数，显然x=1时，该函数值为0
所以当x∈（0，1）时，Φ′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，Φ′（x）＞0
所以函数Φ（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
所以Φ（x）min=Φ（1）=1，所以a≤Φ（x）min=1即a∈（-∞，1）…（4分）
（2）由题意知道：h（x）=x2-ax+lnx．则h′(x)＝2x?a+
＝
，(x＞0)
所以方程2x2-ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x1，x2，且x1∈(0，
)，
又因为x1x2＝
，所以x2＝
∈(1，+∞)，且axi＝2xi2+1，(i＝1，2)…（6分）
而h（x1）-h（x2）=(x12?ax1+lnx1)?(x22?ax2+lnx2)
=[x12?(2x12+1)+lnx1]?[x22?(2x22+1)+lnx2]
=x22?x12+ln
=x22?(
)2+ln
═x22?
?ln2x22，（x2＞1）
设μ(x)＝x2?
?ln2x2，(x≥1)，则μ′(x)＝
≥0
所以μ(x)＞μ(1)＝
?ln2，即h(x1)?h(x2)＞
?ln2…（8分）
（3）r(x)＝f(x)+g(
)＝x2?ax+ln
所以r′(x)＝2x?a+
＝
=
…（9分）
因为a∈（1，2），所以
＝
?
≤
?
＝
所以当x ∈(
，+∞)时，r（x）是增函数，所以当x0∈[
，1]时，
r(x0)max＝r(1)＝1?a+ln
，a∈（1，2）…（10分）
所以，要满足题意就需要满足下面的条件：1?a+ln
＞k(1?a2)，
若令φ(a)＝1?a+ln
?k(1?a2)，a∈（1，2），
即对任意a∈（1，2），φ(a)＝1?a+ln
?k(1?a2)＞0恒成立
因为φ′（a）=?1+
+2ka=
(a?
+1)…（11分）
分类讨论如下：
①若k=0，则φ′(a)＝
，所以φ（a）在（1，2）递减，
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意
②若k＜0，则φ′(a)＝
(a?
+1)，所以φ（a）在区间（1，2）递减，
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意．
③若k＞0，则φ′(a)＝
(a?
+1)，那么当
?1＞1时，假设t为2与
?1中较小的一个数，即t={2，
?1}，
则φ（a）在区间（1，min{2，
分离参数α可得：a≤x?
| lnx |
| x |
设Φ(x)＝x?
| lnx |
| x |
| lnx?1 |
| x2 |
| x2+lnx?1 |
| x2 |
由于函数y=x2，y=lnx在区间（0，+∞）上都是增函数，所以
函数y=x2+lnx-1在区间（0，+∞）上也是增函数，显然x=1时，该函数值为0
所以当x∈（0，1）时，Φ′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，Φ′（x）＞0
所以函数Φ（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
所以Φ（x）min=Φ（1）=1，所以a≤Φ（x）min=1即a∈（-∞，1）…（4分）
（2）由题意知道：h（x）=x2-ax+lnx．则h′(x)＝2x?a+
| 1 |
| x |
| 2x2?ax+1 |
| x |
所以方程2x2-ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x1，x2，且x1∈(0，
| 1 |
| 2 |
又因为x1x2＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2x1 |
而h（x1）-h（x2）=(x12?ax1+lnx1)?(x22?ax2+lnx2)
=[x12?(2x12+1)+lnx1]?[x22?(2x22+1)+lnx2]
=x22?x12+ln
| x1 |
| x2 |
| 1 |
| 2x2 |
| ||
| x2 |
| 1 |
| 4x22 |
设μ(x)＝x2?
| 1 |
| 4x2 |
| (2x2?1)2 |
| 2x3 |
所以μ(x)＞μ(1)＝
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（3）r(x)＝f(x)+g(
| 1+ax |
| 2 |
| 1+ax |
| 2 |
所以r′(x)＝2x?a+
| a |
| ax+1 |
| 2ax2?a2x+2x |
| ax+1 |
2ax(x?
| ||
| ax+1 |
因为a∈（1，2），所以
| a2?2 |
| 2a |
| a |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以当x ∈(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
r(x0)max＝r(1)＝1?a+ln
| a+1 |
| 2 |
所以，要满足题意就需要满足下面的条件：1?a+ln
| a+1 |
| 2 |
若令φ(a)＝1?a+ln
| a+1 |
| 2 |
即对任意a∈（1，2），φ(a)＝1?a+ln
| a+1 |
| 2 |
因为φ′（a）=?1+
| 1 |
| a+1 |
| 2ka |
| a+1 |
| 1 |
| 2k |
分类讨论如下：
①若k=0，则φ′(a)＝
| ?a |
| a+1 |
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意
②若k＜0，则φ′(a)＝
| 2ka |
| a+1 |
| 1 |
| 2k |
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意．
③若k＞0，则φ′(a)＝
| 2ka |
| a+1 |
| 1 |
| 2k |
| 1 |
| 2k |
| 1 |
| 2k |
| 1 |
| 2k |
则φ（a）在区间（1，min{2，
