Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n+32an（n∈N*）．数列{bn}是等差数列，且b2=a2，b20=a4．（1）求证：

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n+32an（n∈N*）．数列{bn}是等差数列，且b2=a2，b20=a4．（1）求证：数列{an-1}是等比数列；（2）求数列{bnan?1}的前n项和Tn；（3）若不等式Tn+?n2+11n?62×3n＜log ax（a＞0且a≠1）对一切n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）由Sn＝n+

3

2

an，①当n≥2时，Sn?1＝n?1+

3

2

an?1，②
两式相减得an＝1+

3

2

an?

3

2

an?1，即a_n=3a_n-1-2，（1分）
当n≥2时，

an?1

an?1?1

＝

3an?1?2?1

an?1?1

＝3为定值，（2分）
所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，（3分）
（2）由Sn＝n+

3

2

an，令n=1，得a₁=-2． 所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．
∴a_n-1=-3×3^n-1，即a_n-1=-3ⁿ．（4分）∴b₂=-8，b₂₀=-80．
由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n（5分）
∵Tn＝

b1

a1?1

+

b2

a2?1

+…+

bn?1

an?1?1

+

bn

an?1

=4[

1

31

+

2

32

+…+

(n?1)

3n?1

+

n

3n

]，
而

1

3

Tn＝4[

1

32

+

2

33

+…+

(n?1)

3n

+

n

3n+1

]，
相减得

2

3

Tn＝4(

1

31

+

1

32

+…+

1

3n

?

n

3n+1

)，即Tn＝2(

1

30

+

1

31

+…+

1

3n?1

)?

2n

3n

，
则 Tn＝2

1?( 1 3 )n

1? 1 3

?

2n

3n

＝3?

2n+3

3n

．（8分）
（3）令Pn＝Tn+

?n2+11n?6

2×3n

则Pn＝3?

2n+3

3n

+

?n2+11n?6

2×3n

=3+

?n2+7n?12

2×3n

（9分）Pn+1＝3+

?n2+5n?6

2×3n+1

∴Pn+1?Pn＝

?n2+5n?6

2×3n+1

?

?n2+7n?12

2×3n

=

2n2?16n+30

2×3n+1

＝

(n?3)(n?5)

3n+1

（10分）
∴当n＞5时P_n+1-P_n＞0此时P_n单调递增；（11分）
∵当n＞5时，-n²+7n-12＜0从而3+

?n2+7n?12

2×3n

＜3∴当n＞5时，P_n＜3
∵P₁=3-1=2，P2＝3?

1

9

＜3，P₃=P₄=3，P5＝P6＝3?

1

243

＜3
∴当n∈N^*时，P_n的最大值为3（13分）
∵不等式Tn+

?n2+11n?6

2×3n

＜lo

g

a

x（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立∴log_ax＞3．（14分）
故当a＞1时，x≥a³；当0＜a＜1时，0＜x≤a³．（16分）