Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，D是SC的中点，已知∠BAC=π2，AB=2，AC=23，SA=2，求：（1）三棱锥

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，D是SC的中点，已知∠BAC=π2，AB=2，AC=23，SA=2，求：（1）三棱锥S-ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的余弦值．

Answer 1

（1）∵∠BAC=

π

2

，AB=2，AC=2

3

，∴S△ABC＝

1

2

×2×2

3

＝2

3

，
∵SA⊥底面ABC，SA=2，
∴三棱锥S-ABC的高为SA=2，
三棱锥S-ABC的体积V＝

1

3

S△ABC?SA=

1

3

×2

3

×2＝

4

3

3

．
（2）取SB中点E，连结DE、AE，则ED∥BC，
所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝

2

，AD＝2
由余弦定理，得cos∠ADE＝

22+22?2

2×2×2

＝

3

4

，
∴异面直线BC与AD所成的角的余弦值为

3

4

．