Question

已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A为抛物线上的一点，其纵坐标为1，|AF|=54．（Ⅰ）求抛物线的方程

已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A为抛物线上的一点，其纵坐标为1，|AF|=54．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设B，C为抛物线上不同于A的两点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由抛物线定义得：|AF|＝yA+

p

2

，
∴

p

2

+1＝

5

4

，
∴p＝

1

2

------（2分）
∴抛物线方程为x²=y------（4分）
（Ⅱ）设B(x1，

x

2 1

)，C(x2，

x

2 2

)，则
∵A（1，1）且AB⊥AC，
∴

x 2 2 ?1

x   2 ?1

?

x 2 1 ?1

x   1 ?1

＝?1
即（x₁+x₂）+x₁?x₂=-2------（6分）
又∵y′=2x，∴B、C处的切线的斜率为k₁=2x₁，k₂=2x₂，
∴B、C处的切线方程为y?

x

2 1

＝2x1(x?x1)和y?

x

2 2

＝2x2(x?x2)
由

y? x 2 1 ＝2x1(x?x1) y? x 2 2 ＝2x2(x?x2)

得D(

x1+x2

2

，x1x2)------（8分）
设x₁x₂=t，由（x₁+x₂）+x₁?x₂=-2得