已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意的实数x,y,有f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y);②f(1)=

已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意的实数x,y,有f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y);②f(1)=2;③f(x)在[0,1]上为增函数.(Ⅰ)求... 已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意的实数x,y,有f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y);②f(1)=2;③f(x)在[0,1]上为增函数.(Ⅰ)求f(0)及f(-1)的值;(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;(Ⅲ)(说明:请在(ⅰ)、(ⅱ)问中选择一问解答即可.)(ⅰ)设a,b,c为周长不超过2的三角形三边的长,求证:f(a),f(b),f(c)也是某个三角形三边的长;(ⅱ)解不等式f(x)>1. 展开
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糤烧韉
2014-08-27 · TA获得超过131个赞
知道答主
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(Ⅰ)因为对任意的实数x,y,有f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y),
取x=y=0,得f(1)=f(1)-[f(0)]2,解得f(0)=0,
取x=-1,y=1,得f(1)=f(-1)-f(-1)f(1),
又f(1)=2,所以2=f(-1)-2f(-1),解得f(-1)=-2,
所以f(-1)=-2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)猜测函数f(x)是奇函数,证明如下:
取x=-1,得f(y)=f(-y)-f(-1)f(y),即f(y)=f(-y)+2f(y),
所以f(-y)=-f(y),即对任意实数y,有f(-y)=-f(y);
所以函数f(x)为奇函数;
(Ⅲ)(i)证明:因为a,b,c为周长不超过2的三角形三边的长度,
所以0<a,b,c<1,不妨设c≥b≥a,由条件③得f(c)≥f(b)≥f(a)>0,
为了证明“f(a),f(b),f(c)也是三角形三边的长”,只需证f(a)+f(b)>f(c),
因为a,b,c为周长不超过2的三角形三边的长度,所以1>
a+b
2
c
2
>0,1≥1-
b?a
2
>1-
c
2
>0,
又因为f(x)在[0,1]上为增函数,所以f(
a+b
2
)>f(
c
2
)>0,f(1-
b?a
2
)>f(1-
c
2
)>0,
所以f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)=f(1-
b?a
2
)?f(
a+b
2
)>f(1-
c
2
)?f(
c
2
)=f(2-c)-f(2),
在①中取x=0,y=1得f(2)=f(0);取x=0,y=1-c得f(2-c)=f(c);
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