Question

如图，AB,CD是半径为5的圆O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN，CD⊥MN，P为EF上任意一点

如图，AB、cD是⊙O中的两条弦，M、N分别是AB、cD的中点，且角OMN=角ONM，求证AB=cD

Answer 1

1.）连结BC，BC与EF的交点为P时，PA+PC最短
连结OA，OC，由勾股定理得
OE=3, OF=4
∴EF=7
∵AB‖CD
∴BE/CF=EP/PF
4/3=EP/PF
EP+PF=7
∴EP=4,PF=3
∴BP=4√2, PC=3√2
∴PA＋PC的最短距离=BC=7√2

2.）∵∠OMN=∠ONM
∴△OMN是等腰△
∴OM=ON
分别连OB，OD
∵M,N,分别为弦上的中点 ∴OM⊥ AB，ON垂直CD （如果要证为什么是中点就利用两个全等证好了，不明白请追问）
∵OB,OD分别为圆半径，∴OB=OD
∵OM⊥AB ON垂直CD 且 OB=OD OM=ON
∴△OMB≌△OND
∴BM=DN
∴AB=CD