Question

已知函数f（x）=xx2+1，x∈（-1，1）（1）判断此函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性，并加以证明．（3

已知函数f（x）=xx2+1，x∈（-1，1）（1）判断此函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性，并加以证明．（3）解不等式f（x）-f（1-x）＞0．

Answer 1

（1）∵f（-x）=

?x

(?x)2+1

=-

x

x2+1

=-f（x），
∴f（x）=

x

x2+1

，x∈（-1，1）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

(x2?x1)(x1x2?1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵x₁²+1＞0，x₂²+1＞0，x₂-x₁＞0，
∴当-1＜x₁＜x₂＜1时，x₁x₂-1＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
则函数f（x）是增函数；
（3）根据题意得：

?1＜x＜1 ?1＜1?x＜1 x＞1?x

，
解得：

1

2

＜x＜1，
则原不等式的解集为{x|

1

2

＜x＜1}．