Question

选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，BD交AC于点E．（I）求证：CD2-DE2=AE×EC

选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，BD交AC于点E．（I）求证：CD2-DE2=AE×EC；（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．





Answer 1

解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，
∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD∽△CED，
∴

DE

DC

=

DC

DB

，
∴CD²=DE×DB，
∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE²+DE×BE，DE×BE=AE×EC，
∴CD²-DE²=AE×EC．…（6分）
（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，
∴∠COD=60°．∴∠CBD=

1

2

∠COD=30°，
∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）