Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），点M在AB边上，

在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），点M在AB边上，且BM=5AM，连接OM，作MD⊥OM交BC于点D．（1）求证：OM=DM；（2）求直线MD的函数关系式；（3）若点M在线段AB上运动（不与点A，B重合）且始终保持MD⊥OM（点D在BC上），①设点D的横坐标为a，求a的最小值及此时点M的坐标；②点N也是线段AB上的一个动点，点N与点M不重合，连接ON、DN时，也有DN⊥ON．设BN=n，BM=m，直接写出n与m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵点B的坐标为（5，6），
∴OA=BC=5，AB=OC=6，
∵BM=5AM，
∴BM=5，AM=1，
∴BM=OA，
∵MD⊥OM，
∴∠DMB=∠OMA=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠DMB+∠BDM=90°，
∴∠OMA=∠BDM，
在△OAM和△MBD中，

∠OMA＝∠BDM ∠B＝∠MAO BM＝OA

，
∴△OAM≌△MBD；
∴OM=DM；

（2）∵△OAM≌△MBD，
∴BD=AM=1，
则M的坐标是（5，1），D的坐标是（4，6），
设直线MD的函数关系式是y=kx+b，
则

5k+b＝1 4k+b＝6

，
解得：

k＝?5 b＝26

，
则函数的解析式是：y=-5x+26；

（3）①设M的坐标是（5，x），
∵在△OAM和△MBD，∠OMA=∠BDM，∠B=∠OAM，
∴△OAM∽△MBD，
∴

OA

BM

=

AM

BD

，即

5

6?x

=

x

5?a

，
解得：a=

1

5

x²-

6

5

x+6，
则当x=3时a有最小值是：