如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=120°．M、N分别为线段AB，CD的中点，连接AN，DM交于点O，将
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=120°．M、N分别为线段AB，CD的中点，连接AN，DM交于点O，将△ADM沿直线DM翻折成△A'DM，使平面...
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=120°．M、N分别为线段AB，CD的中点，连接AN，DM交于点O，将△ADM沿直线DM翻折成△A'DM，使平面A'DM⊥平面BCD，F为线段A'C的中点．（1）求证：ON⊥平面A'DM（2）求证：BF∥平面A'DM；（3）直线FO与平面A'DM所成的角．
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解答：证明：
（1）连接MN，由平面几何知AMND是菱形
∴AN⊥DM…1’
∵平面A'DM⊥平面ABCD，DM是交线，AN?平面ABCD…2’
∴AN⊥平面A'DM，
即ON⊥平面A'DM…3’
（2）取A'D中点E，连接EF、EM
∵F是A'C中点
∴EF
CD…4’
又M是AB中点
∴在菱形ABCD中，BM
CD
∴EF
BM…5’
∴EFBM是平行四边形
∴BF∥EM…6’
∵EM?平面A'DM，BF?平面A'DM…7’
∴BF∥平面A'DM…8’
解：（3）∵AB=2BC=2，M是AB中点
∴A'D=A'M=1
∵菱形ADNM中O是DM中点
∴A'O⊥DM
∵平面A'DM⊥平面ABCD
∴A'O⊥平面ABCD…9’
以ON为x轴，OM为y轴，OA'为z轴建立如图空间直角坐标系，∠ADN=∠ABC=120°
在△ADN中AD=DN=1，
∴AN＝
＝
同理求得DM=AD=AM=1
∴N(
，0，0)、D(0，
，0)、A′(0，0，
)
∵M是CD中点
∴C(
，
，0)
∵F是A'C中点
∴F(
，
，
)…11’
∵NO⊥平面A'DM
∴平面A'DM的一个法向量
＝(
，0，0)
∵
＝(
，
，
)
∴|
|＝
＝1
设OF与平面A'DM所成的角为θ，0＜θ＜
…12’
则sinθ＝|cos＜
，
＞|＝|
（1）连接MN，由平面几何知AMND是菱形∴AN⊥DM…1’
∵平面A'DM⊥平面ABCD，DM是交线，AN?平面ABCD…2’
∴AN⊥平面A'DM，
即ON⊥平面A'DM…3’
（2）取A'D中点E，连接EF、EM
∵F是A'C中点
∴EF
| ||
. |
| 1 |
| 2 |
又M是AB中点
∴在菱形ABCD中，BM
| ||
. |
| 1 |
| 2 |
∴EF
| ||
. |
∴EFBM是平行四边形
∴BF∥EM…6’
∵EM?平面A'DM，BF?平面A'DM…7’
∴BF∥平面A'DM…8’
解：（3）∵AB=2BC=2，M是AB中点
∴A'D=A'M=1
∵菱形ADNM中O是DM中点
∴A'O⊥DM
∵平面A'DM⊥平面ABCD
∴A'O⊥平面ABCD…9’
以ON为x轴，OM为y轴，OA'为z轴建立如图空间直角坐标系，∠ADN=∠ABC=120°
在△ADN中AD=DN=1，
∴AN＝
| AD2+DN2?2AD?DNcos120° |
| 3 |
同理求得DM=AD=AM=1
∴N(
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵M是CD中点
∴C(
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∵F是A'C中点
∴F(
| ||
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
∵NO⊥平面A'DM
∴平面A'DM的一个法向量
| ON |
| ||
| 2 |
∵
| OF |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
∴|
| OF |
|
设OF与平面A'DM所成的角为θ，0＜θ＜
| π |
| 2 |
则sinθ＝|cos＜
| OF |
| ON |
|
